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Books on mathematics

Equations différentielles (Berthelin) - Cassini - 2017

Sur les équations différentielles, il existe en français des références classiques, on pense notamment au célèbre livre de Vladimir Arnold (Equations différentielles ordinaires). On pense aussi aux importantes contributions de Jean-Pierre Demailly ou de Michel Crouzeix.
En 2017 est sorti chez Cassini un ouvrage sobrement intitulé Equations différentielles qui est vite devenu un incontournable dans le domaine. Très clair, très didactique, Equations différentielles a fait l'unanimité parmi les différents publics (il n'est qu'à voir les reviews sur Amazon).

Deux points selon nous font la force de ce livre.

1. Le plan est très clair et les chapitres s'enchaînent naturellement. Il est facile de suivre le fil directeur proposé par l'auteur de sorte que cet ouvrage se lit presque comme un roman.

Après avoir défini le sujet (chapitre 1), il convient de se demander à quelle condition une équation différentielle possède des solutions et, le cas échéant, si elles sont uniques. C'est ce à quoi nous convie Berthelin d'abord dans le cadre linéaire (chapitre 2) puis non-linéaire (chapitre 3). C'est ici que sont énoncés les théorèmes de Cauchy-Lipschitz et Cauchy-Peano-Arzelà.

Une fois démontrés ces théorèmes d'existence, il faut naturellement mettre au point des techniques pour déterminer les solutions. On effectue ce travail d'abord sur des cas où ces solutions peuvent s'exprimer explicitement (chapitre 4), mais il apparaît rapidement que la plupart des équations différentielles n'ont pas des solutions facilement exprimables. Il faut alors adopter deux points de vue pour en venir à bout:

• D'une part sont apparues les méthodes qualitatives (chapitres 5, 6, 7, 8 et 9) menant à plusieurs théories classiques: ainsi nous sont présentées les théories de Poincaré, de Sturm, de Floquet sur la périodicité, de Lyapounov sur la stabilité, etc...
• D'autre part, avec l'avènement des ordinateurs, ont explosé les méthodes numériques (chapitre 10). Berthelin expose le sujet rigoureusement et avec clarté.

Cerise sur le gâteau, toutes les connaissances acquises au cours de la lecture sont utilisées dans un dernier chapitre éclairant consacré à la résolution des équations classiques de la Physique (chapitre 12). On notera en particulier le traitement à la fois rigoureux et didactique de l'équation de la chaleur.

2. Toutes les démonstrations, même les plus simples, sont décrites en détail et l'auteur ne cède jamais à la facilité de laisser les preuves au lecteur. On relèvera en particulier certaines démonstrations très calculatoires menées jusqu'à leur terme (par exemple le fait que la méthode de Runge-Kutta est d'ordre 4).

L'ouvrage est qui plus est accompagné de plus de 200 pages d'exercices intégralement corrigés.

Bref, c'est un livre de référence sur les équations différentielles à avoir dans sa bibliothèque.

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